🌸 טורי חזקות לאינטגרלים

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלישיעור 123רמת קושי: מתקדם

השאלה

השתמשו בטור 1/(1−x)=1+x+x²+… כדי לקרב את ∫_0^0.5 1/(1−x) dx באמצעות האיברים עד x^5.

הסיפור

בפרק הזה בוט הקוביות מוצא שער נעול. על השער כתוב: מי שפותר בשקט, מתקדם בענק. המשימה שייכת לנושא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ולסוג טורי חזקות לאינטגרלים. המטרה של הפרק היא לזהות שינוי, גבול או שטח דרך צעדים קטנים. כדי שהילד לא יזכור סתם תשובה, אלא יבין את הדרך.

עכשיו עוצרים. זהו קרב בוס חכם. נסו לפתור במחברת לפני שלוחצים על הפתרון. באתגר מסתירים כמעט הכול כדי לתת למוח לבנות הוכחה.

💡 רמזים
  1. החלף את הפונקציה בטור החזקות הנתון.
  2. בצע אינטגרציה איבר־איבר.
  3. הערך את הסכום החלקי בגבולות.
▶ פתרון מלא, צעד אחר צעד
  1. מחליפים את הפונקציה בסכום החלקי: 1+x+x²+…+x^N.
  2. מבצעים אינטגרציה איבר־איבר: ∫_0^0.5 x^k dx = (0.5)^(k+1)/(k+1).
  3. עבור N=5 סכום האיברים הוא 1/2 + 1/8 + 1/24 + 1/64 + ....
  4. הקירוב הוא 1327/1920.

✅ התשובה: 1327/1920

מה למדנו

מוסר ההשכל שהוא התרגיל: השתמשו בטור 1/(1−x)=1+x+x²+… כדי לקרב את ∫_0^0.5 1/(1−x) dx באמצעות האיברים עד x^5. כלומר, הסיפור אומר לנו: אל קופצים לפתרון; בונים דרך, בודקים, ואז עונים.

▶ פתרו באופן אינטראקטיבי עם גיא

→ הקודם כל שיעורי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הבא ←